Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Okuma süresi: 16 dakika

Ders sarayının Matematik dersi 10. sınıf ve TYT konuları arasında olan Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazısına hoş geldiniz. Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazımızda ayrıntılı ve bol örnek ile sırayla;
FONKSİYON KAVRAMI VE FONKSİYONLARIN GÖSTERİMİ
1. Fonksiyonlar
2. Fonksiyonlarda Grafik Çizimi
3. Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama
4. Doğrusal Fonksiyonlarda Güncel Uygulamalar
İKİ FONKSİYONUN BİLEŞKESİ VE BİR FONKSİYONUN TERSİ
1. Fonksiyonların Bire Bir ve Örtenliğinin İncelenmesi
2. Bileşke Fonksiyon
3. Bir Fonksiyonun Tersi konularını ve örneklerini göreceğiz.
Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazımızı okumadan önce bu konuyla ilgili olan Temel kavramlar konu anlatımı , Üslü sayılar konu anlatımı, İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler konu anlatımı  ve İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Konu anlatımı  yazılarımızı okumanızı tavsiye ederiz. Sitemizdeki diğer Matematik konu anlatımı yazılarına buradan  ulaşabilirsiniz.

Neden fonksiyonları öğrenmeliyiz?
Fonksiyonlar matematiğin en temel konularından biridir ve matematiğin günlük hayatta en fazla kullanılan konularındandır. Bu nedenlerle fonksiyon kavramının iyi anlaşılması ve fonksiyonlarla ilgili temel cebirsel işlem becerilerinin kazanılması gerekmektedir. Örneğin, aritmetikteki toplama ve çarpma işlemleri sayı ikililerini sayılara eşleyen birer fonksiyondur. Benzer şekilde, geometrideki öteleme ve döndürme işlemleri geometrik şekiller arasındaki bir fonksiyondur. Olasılık konusunda olayları, olma olasılıklarıyla eşleme de bir fonksiyon örneğidir. Fonksiyonlar, trigonometri, limit, türev ve integral gibi daha sonraki yıllarda göreceğimiz birçok matematik konusu için de temel bir kavramdır.

Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi

Fonksiyonların kullanımını içeren veya fonksiyonlarla modellenebilen gerçek/gerçekçi hayat durumlarına verilebilecek örneklerden bazıları şunlardır:
• Zamana bağlı yer kabuğu hareketlerini gösteren sismografik ölçümler
• Farklı dövizlerin, altın ve petrolün zamana bağlı değişim değerlerinin belirtildiği grafiksel gösterimler
• Simülasyonların oluşturulması
• Uzaydaki gezegen ve yıldız gibi cisimlerin konumlarının zamana bağlı belirlenmesi
• Uzaya gönderilen uydu ve uzay araçlarının yapım ve kullanımı için gerekli olan bilimsel çalışmalar

Fonksiyon Kavramı

Fonksiyonlar konusu, matematiğin birçok konusu gibi günlük hayatta sıkça kullanılmaktadır. Çamaşır ve bulaşık makinelerinde bulunan yıkama programları ayarlanırken; çay, kahve otomatlarından çay veya kahve alırken fotokopi makinelerinden fotokopi çektirirken veya bir kişiye adres tarif ederken farkında olmadan fonksiyon kavramı kullanılmaktadır.

Bir akaryakıt istasyonunda alınan benzin miktarı değiştikçe ödenecek tutar da değişir. Bu iki değişken arasındaki ilişkiyi bir örnekle inceleyelim. Benzinin litresinin 5 TL olduğunu varsayalım. Farklı miktarlardaki benzin için ödenecek tutarları bir tabloyla aşağıdaki gibi gösterebiliriz. Örneğin 5 litre benzin alan biri 25 TL ödemelidir.

• 

• 

Gaz pompa makinası, alınan benzin miktarını okudukça ödenecek tutarı göstermektedir. Bu durumu bir şema ile gösterebiliriz:

Burada şu iki duruma dikkat edelim:
1. Her girdi için bir çıktı hesaplanmakta
2. Her bir girdi için yalnızca bir çıktı bildirilmekte
Fonksiyonun matematiksel tarifine geçmeden, fonksiyonun iki çokluk arasında bu iki şartı sağlayan ilişkilendirmeler olduğunu belirtelim.

Makineye giren değerler (bağımsız değişkenler) ile çıkan değerler (bağımlı değişkenler) arasındaki ilişki:
“Çıktı” = 4 · “Girdi”
şeklindedir. Örneğin, makineye sırasıyla 1 girince 4; 2 girince 8 çıkıyor. Diğer örnekler
makine ve tablo üzerinde gösterilmiştir.

Girdileri bir küme ve çıktıları başka bir küme olarak da düşünebiliriz. Bu durumda her bir girdiye karşılık gelen çıktı eşlenir. Şimdi kümeler arasındaki ilişki bağlamında fonksiyonun matematiksel tanımını verelim.

Fonksiyonun Tanımı

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A kümesinin her bir elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye A dan B ye tanımlı fonksiyon denir. A dan A ya tanımlı bir fonksiyona kısaca A da tanımlı fonksiyon da denir. Fonksiyonlar genellikle f, g, h, F, G, H gibi sembollerle gösterilir.

Bir A kümesinden B kümesine tanımlı f fonksiyonu kısaca şu şekilde gösterilir:

f : A → B

Burada A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye ise fonksiyonun değer kümesi denir.
Eğer f fonksiyonu A kümesinden alınan bir x elemanını, B kümesindeki bir y elemanı ile ilişkilendiriyor ise y, x in f altındaki görüntüsü veya f in x teki değeri y dir denir ve bu durum y = f(x) şeklinde ifade edilir. Tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi ortak özellik yöntemiyle şu şekilde gösterilir:
f(A) = { f(x) : x ∈ A }

Yapmış olduğumuz fonksiyon tanımındaki şu iki özelliği vurgulayalım:
1. Tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesinden bir elemanla mutlaka ilişkilendirilmiştir,
2. Tanım kümesindeki herhangi bir eleman değer kümesinden en fazla bir elemanla ilişkilendirilmiştir. ( Bir kişi aynı anda iki farklı şehirde bulunamaz, bir kişinin iki tane öz annesi olmaz, bir kişinin T.C. kimlik numarası bir tanedir.)

Yukarıdaki şartlardan en az biri sağlanmıyorsa f : A → B bir fonksiyon belirtmez.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek
Aşağıda verilen durumların fonksiyon belirtip belirtmeyeceğini bulalım.
a. Alfabedeki her harfin kendisiyle başlayan günle ilişkilendirilmesi
b. Sınıftaki öğrencilerin doğum günleri ile ilişkilendirilmesi
c. Ülkemizdeki vatandaşların Türkiye Cumhuriyeti kimlik numaralarıyla ilişkilendirilmesi

Dikkat edilecek olursa bir fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir, yani f(A) ⊂ B dir. Bu durum yandaki gibi bir şekille açıklanabilir.

Örnek

f fonksiyonu x girdisini alıp f(x) çıktısına götüren bir makine şeklinde düşünülebilir.

Örnek
A = {1, 3, 5, 7} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümeleri veriliyor. f : A → B fonksiyonu f (x) = 8 – x ile veriliyor. Bu fonksiyonun görüntü kümesini bulalım.

Örnek

A={-1 , 0, 1, 2} olmak üzere f:A→ R f(x)=2x-1 şeklinde tanımlanan f fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

Tanım kümesi bulma soruları

Bu tip sorularda tanım küseinde boşta eleman kalmamasına dikkat edilmeli. Rasyonel bir denklem var ise paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinde olmamalıdır. Köklü bir ifade var ise kökün içini negatif yapan değer tanım kümesinde olmamalıdır.

Örnek
f : (1, 7] → R ve f(x) = 4x + 2 ile verilen f fonksiyonun görüntü kümesini bulalım.

Örnek
f : A → B , f (x) = x + 5 ile verilen bir fonksiyon için tanım, değer ve görüntü kümeleri hakkında B = {4, 6, 8}, f(A) = B ve s(A) = 3 olduğu biliniyor. Buna göre A kümesini bulalım

Örnek
f:A→ R f(x )= 4x + 6 fonksiyonunda f(A) = {-10, 18, 22} olduğuna göre fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Örnek
f:A→ R f(x ) = 2x³-3x²+4x-5fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek
f : R → R, f(x + 3) = 2x-4 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f (14 ) değerini bulunuz.

Örnek
Bir f fonksiyonu f : R → R ve f(x) = x² olarak tanımlanıyor. Buna göre aşağıdakileri ifadelerin değerlerini bulalım.
a. f(x + 5)
b. f(x – 6)

Örnek

Örnek
Bir f fonksiyonu f : R → R ve f(x) = 2x +1 olarak tanımlanıyor. Buna göre
f(2) + f(–1) + f(5) = f(m + 1) + 6
eşitliğini sağlayan m değerini bulalım.

Fonksiyon Çeşitleri

İçine Fonksiyon

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere f :A → B şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f(A) ≠ B olduğuna göre (değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalıyorsa) f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. f içine fonksiyon ise kısaca f içinedir denir.

Örnek
A = { -2,-1, 0, 1}, B={-2,-1,0,2,3,11} ve f :A → B olmak üzere f ( x ) = 3x² -1 fonksiyonunun içine fonksiyon olup olmadığını bulunuz.

Örten Fonksiyon

Eğer bir fonksiyonun değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir eleman ile eşleşmiş ise bu fonksiyon örten fonksiyondur.
Bir başka ifadeyle, bir fonksiyonun görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşitse fonksiyon örtendir. Şimdi bu tanımları cebirsel olarak ifade edelim:
f: A → B fonksiyonu için f(A) = B ise f örtendir.
Bu tanımı aşağıdaki gibi belirtmek yaygın ve kullanışlıdır:
f: A → B fonksiyonu verilsin. Her b ∈ B için b = f(a) olacak şekilde en az bir a ∈ A varsa f örten bir fonksiyondur.

Örnek
f: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10}, f(x) = 2x fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyelim.

Örnek
f: N → N, f(x)=x+1 fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyiniz.

Örnek
f: Z → Z, f(x)=x+1 fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyiniz.

Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiyona bire bir fonksiyon denir. Bu tanımı daha net ifade etmek için bire bir olma kavramının cebirsel olarak ne anlama geldiğini belirtelim:
Bir f: A → B fonksiyonu verildiğinde, herhangi a ∈ A ve b ∈ A için
a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)
şartı sağlanıyorsa f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Bu tanımı şu şekilde de ifade edebiliriz: herhangi a ∈ A ve b ∈ A için
f(a) = f(b) ⇒ a = b
şartı sağlanıyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
Bir f fonksiyonunun bire bir olma durumu “f fonksiyonu 1-1 dir.” şeklinde ifade edilebilir.

Yatay Doğru Testi
Bir fonksiyonun grafiğine x-eksenine paralel doğrular çizildiğinde bu doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa bu fonksiyon bire birdir.

Örnek
f: R → R, f(x) = 2x fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyelim.

Örnek
f: R → R, f(x) = x² fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyelim.

Örnek
f: R → R, f(x) = 3×3 – 1 fonksiyonunun bire bir olma durumunu inceleyelim.

Eşit Fonksiyon

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere f: A → B, g: A → B tanımlanan f ve g fonksiyonları; x ∈ A için f(x)=g(x )şeklinde yazılabiliyor ise bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir. Fonksiyonların eşit olması için tanım ve görüntü kümelerinin eşit olması, tanım kümesindeki her bir eleman için bu elemanların görüntülerinin de aynı olması gerekir.

Örnek
A = { -1, 0, 1}, B ={ -3,- 2,- 1 , 0, 1, 2} kümeleri veriliyor. Buna göre f: A → B, f(x)=2x³-1 ve g: A → B, g(x)=2x-1 olmak üzere f ve g fonksiyonlarının eşit fonksiyonlar olup olmadıklarını bulunuz.

f: R → R, f(x) = ( a- 4) x³ + ( 2b – 3)x² – 5x + 7 ve g: R → R, g(x) = 2x³ + 3x² – (c + 1)x + d – 4 fonksiyonları veriliyor. f ve g fonksiyonları eşit fonksiyonlar ise a. b + c. d işleminin sonucunu bulunuz.

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon

Tanım kümesindeki her değeri kendisiyle eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir ve birim fonksiyonun kuralı I(x) = x olarak belirtilir.

f: {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5}, f(x) = x olarak verilen bu birim fonksiyonu şema ve grafikle gösterelim.

Örnek
f: R → R, f(x) = (m – 2)x + 2n + 8 fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre m. n değerini bulunuz.

Sabit Fonksiyon

f : A → B ile verilen bir f fonksiyonu A kümesinin bütün elemanlarını B kümesinden yalnızca bir eleman ile eşliyorsa bu fonksiyona sabit fonksiyon denir. Eşleme yapılan elemanı c ile gösterirsek f sabit fonksiyonunun kuralı f(x) = c şeklindedir.

Sabit bir fonksiyonun görüntü kümesi bir elemanlı olmalıdır ve görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlar sabit fonksiyonlardır.

Örnek
f: R → R ve f(x) = (m – 2)x + m + 1 ile verilen f fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. Buna göre:
1. m
2. f(1250) değerini bulalım.

Örnek

Doğrusal Fonksiyon

a ∈ R , a ≠ 0 ve b ∈ R şeklindeki a ve b sabitleri verilsin. Bir f: R → R fonksiyonunun kuralı f(x) = ax + b biçiminde ise bu fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

Örnek
f: R → R ve f(x) = 2x + 1 ile verilen doğrusal fonksiyonun tanım, değer ve görüntü kümelerini belirtelim ve bu fonksiyonun grafiğini çizelim.

Örnek
f: R → R ve f (x) = 2x – 2 doğrusal fonksiyonunun grafiğini çiziniz

Örnek
f, R de tanımlı doğrusal bir fonksiyon olarak veriliyor. f(2) = 2 ve f(4) = 12 ise f fonksiyonunun kuralını bulalım.

Örnek
f, R de tanımlı doğrusal bir fonksiyon olarak veriliyor. f(3) = 9 ve f(6) = 15 ise f(4) değerini bulalım.

Örnek
f: R → R ve f (x) = (a – b – 3)x³ + (2a – b – 7)x² + (a–1)x + (a + b) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyon ise bu fonksiyonun kuralını bulalım.

“f: R → R ” ifadesi yerine “R de tanımlı f fonksiyonu” ifadesi de kullanılmaktadır.

Örnek
f, R de tanımlı doğrusal bir fonksiyon olarak veriliyor. 2. f(x)+ f(x+2)=9x+18 ise f fonksiyonunun kuralını belirleyelim.

Tek Fonksiyon ve Çift Fonksiyon

y = x² fonksiyonunun grafiğinin y–eksenine göre simetrik olduğunu ve dolayısıyla tanım kümesindeki her x için f(–x) = f(x) eşitliğini sağladığını gözlemleyebiliriz. Bu özelliği taşıyan fonksiyonlara çift fonksiyon denir. Çift fonksiyonda bilinmeyenlerin kuvvetleri çifttir.
y = x³ fonksiyonunun grafiğinin ise orijine göre simetrik olduğunu ve dolayısıyla tanım kümesindeki her x için f(–x) = – f(x) eşitliğini sağladığını görürüz. Bu özelliği taşıyan fonksiyonlara da tek fonksiyon denir. Tek fonksiyonda bilinmeyenlerin kuvvetleri tektir.

f fonksiyonunun tanım kümesindeki her x için;
f(–x) = f(x) ise f çift fonksiyon,
f(–x) = – f(x) ise f tek fonksiyondur.

(a, b) noktasının;
• x–eksenine göre simetrisi (a, –b),
• y–eksenine göre simetrisi (–a, b),
• orijine göre simetrisi ise (–a, –b).

Örnek
Aşağıda verilen ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını araştıralım.
a) f(x) = x² + 2
b)g(x) = x
c) h(x) = x + 1
ç) k(x) = (x – 4)³

Parçalı Fonksiyon

Tanım kümesinin ayrık altkümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksiyonlara
parçalı tanımlı fonksiyonlar veya kısaca parçalı fonksiyonlar denir.

Bir postanede mektup ve kargo göndermek için alınan gönderinin kütlesine bağlı olarak belirlenen ücret tarifesi aşağıda verilmiştir. Mektup Gönderme Tarifesi:
20 Grama kadar: 1 TL
20 Gramdan 50 grama kadar: 1,5 TL
50 Gramdan 100 grama kadar: 2 TL
100 Gramdan 250 grama kadar: 2,5 TL
250 gram ve üstü: 2,5 TL ye her 100 g fazlalık için 50 kr.
Bu tarifeye uygun bir fonksiyon oluşturarak bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulalım. Ayrıca bu fonksiyonun kuralını yazalım ve grafiğini çizelim.

Fonksiyonlarda Aritmetik İşlemler

Yeni fonksiyonlar elde etmek için fonksiyonlar da sayılar gibi toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir. Bu bölümde, bilinen dört aritmetik işlemle yeni fonksiyonlar elde ederek, bu fonksiyonların başlangıçtaki fonksiyonlarla ilişkisini farklı fonksiyon gösterimleri üzerinden açıklayacağız.
Aritmetik olarak f ve g gibi iki fonksiyonun birleştirilmesi için, f ve g nin her ikisinin de aynı x sayısında tanımlı olması gerekir. Buna göre; f + g, f – g ve f . g fonksiyonlarının tanım kümeleri her iki fonksiyonun tanım kümelerinin ara kesitinde kalan reel sayıların kümesidir. f/g durumunda ise, tanım kümesi iki fonksiyonun tanım kümesinin ara kesitinin bir alt kümesidir, çünkü burada paydayı sıfır yapan x değerleri alınamaz.

Örnek

İki Fonksiyonun Bileşkesi

Günlük hayatta bir değişken diğerine, diğer değişken ise başka bir değişkene bağlı olabilmektedir. Örneğin, suyla doldurulan bir havuzdaki suyun yüksekliği havuza giren su miktarına, su miktarı ise zamana bağlı olarak değişmektedir. Dikkat ettiyseniz bu örnekte geçen üç değişken arasında kurulan iki ilişkiden yani, iki fonksiyondan söz ettik.
• İlk fonksiyonda; suyun yüksekliği (Y) bağımlı değişken ve su miktarı (V) bağımsız değişken
• İkinci fonksiyonda; su miktarı (V) bağımlı değişken ve zaman (t) bağımsız değişken
İlk fonksiyon Y(V) ve ikinci fonksiyon V(t) olarak gösterilirse, suyun yüksekliğini zamana bağlı olarak Y(V(t)) olarak gösterebiliriz. Bu şekilde bir gösterim matematikte bileşke fonksiyon kavramıyla açıklanır.

Örneğin; havuz doldurulmaya başlandıktan 3 saat sonra havuzdaki su miktarını t = 3 için V(3) ile hesaplarız. Sonra V(3) çıktısını Y(V) fonksiyonunun girdisi olarak kullanarak 3 saat sonra havuzdaki suyun yüksekliğini Y(V(3)) ifadesi ile hesaplarız. Bu durumu aşağıdaki şekilde görselleştirebiliriz

Bir fonksiyon için bağımlı değişken olan bir çokluk diğeri için bağımsız değişken olmakta, böyle iki fonksiyon tek bir fonksiyon olarak ifade edilebilmektedir

f: A → B ve g: B → C fonksiyonları verilsin. gof: A→ C olmak üzere
gof(x)=g(f(x))
şeklinde tanımlanan fonksiyona g ve f fonksiyonlarının bileşkesi denir. gof şeklinde yazılır, g bileşke f olarak okunur. gof(x) fonksiyonunda f fonksiyonunun çıktısı g fonksiyonunun girdisi olur.
x → f(x) → g(f(x))

Örnek
Bir mağazada kullanılmak üzere 30 TL hediye alışveriş kuponu kazandınız. Mağazaya gittiğinizde almak istediğiniz pantolonların etiket fiyatına %20 indirim uygulandığını gördünüz. Beğendiğiniz pantolon için kasada yapacağınız ödemeyi bileşke fonksiyon olarak ifade edelim. Pantolonun fiyatına bağlı bu fonksiyonunun kuralını bulalım.

Örnek
f(x)=3x–4 ve g(x)=x+15 ise gof(3) değerini hesaplayalım.

Örnek
f(x)=4x +1 ve g(x)=x²+3 ise gof(–2) değerini hesaplayalım.

Örnek
f(x) = 4x – 12 ise fof(1) değerini hesaplayalım

Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

Örnek
f(x) = 3x – 1 ve g(x) = 5x ise fog ve gof fonksiyonlarının kurallarını bulalım.

Örnek
f(x) = 4x +2 , g(x) = 2x+n ve fog(x) = gof(x) olduğuna göre n değerini bulalım

Doğrusal iki fonksiyonun bileşkesi yine doğrusal fonksiyondur.

Örnek
f(x) = –2x+k ve fof(x) = 4x–4 olduğuna göre k değerini bulalım.

Örnek
f(x) = 3x+k ve fof(x) = 9x+8 olduğuna göre k değerini bulunuz

Örnek
R üzerinde tanımlı f(x)=ax+10 ve g(x)=3x+b fonksiyonları veriliyor. fog fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a.b değerini bulalım.

İkiden fazla fonksiyonun bileşke işleminde, fonksiyonların yerini değiştirmediğiniz sürece işleme hangi ikisinden başladığınız sonucu değiştirmez. Herhangi üç f, g, h fonksiyonu için
fo(goh) = (fog)oh
Bileşke işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.

Örnek
f(x) = 2x + 7 , g(x) = x + 4 ve h(x)=x³ olduğuna göre
a) (fog)oh
b) fo(goh)
fonksiyonlarının kurallarını bulalım.

Bir Fonksiyonun Tersi

Günlük hayatta bazı nicelikler (çokluklar) arasında oluşturulabilen fonksiyonlar iki yönlü olabilir.

Dikkat edilirse f fonksiyonunun girdisi (ad–soyad) g fonksiyonunun çıktısı (ad–soyad) olmaktadır. Benzer şekilde f fonksiyonunun çıktısının (öğrenci no) ise g fonksiyonunun girdisi (öğrenci no) olduğu görülmektedir. Bu şekilde aralarında bir ilişki olan f ve g fonksiyonları birbirinin ters fonksiyonu olarak adlandırılır.

Tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bire bir ve örten f fonksiyonunun ters fonksiyonu f^–1 olarak gösterilir. f^–1 ters fonksiyonunun tanım kümesi B, değer kümesi A olur. f ve f^–1 için,
y=f(x) ⇔ f^–1(y)=x veya y=f^–1(x) ⇔ f(y)=x tir

f fonksiyonunun tersi ile çarpmaya göre tersi farklıdır.

Örnek

Günlük hayatta, fonksiyon olarak modelleyebileceğimiz çokluklar arası ilişkilerde bağımlı ve bağımsız değişkenler yer değiştirdiğinde oluşan yeni durum her zaman bir fonksiyon belirtmeyebilir.
Örneğin; bir matematik yazılısının sonuçları ile sınava giren öğrencilerin okul numaralarını ilişkilendirelim. Öğrenci numarasını bağımsız değişken, sınavdan alınan notu bağımlı değişken aldığımızda fonksiyon olma şartları sağlanmış olur. Ancak tersi düşünülürse fonksiyon elde edemeyebiliriz. Çünkü aynı notu alan birden çok öğrenci olabilir. Tersinin de bir fonksiyon olması için sınava giren herkesin farklı not almış olması gerekir.

f fonksiyonun tersinin olması için gerek ve yeter şart bire bir ve örten olmasıdır.

Bir fonksiyon bire bir ise tanım kümesindeki farklı iki elemanın görüntüsü aynı olamaz.
Bir fonksiyon örten ise değer kümesinde eşleşmeyen eleman yoktur, yani değer kümesi görüntü
kümesine eşittir.

(x,y) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği (y,x) noktası olduğu için f ve f^–1 fonksiyonlarının grafikleri de y = x doğrusuna göre simetrik olur.

Örnek
Aşağıdaki fonksiyonların terslerinin olup olmadığını inceleyelim.
a) f: R → R f(x) = x²
b) g: R → R g(x)= x³

Bir Fonksiyonun Tersini Bulma

Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun yaptığı işlemi tersine çevirir. Fonksiyonun girdisi olan x önce y çıktısıyla sonra tekrar kendisiyle eşleşir.

f fonksiyonunun tersi f^–1 fonksiyonunu bulmak için;
1. adım: f(x) yerine y yazılır.
2. adım: x değişkeni yalnız bırakılır.
3. adım: x yerine y, y yerine x yazılır.

Örnek
f : R → R f(x) = 2x – 4 fonksiyonunun tersinin kuralını bulalım

Örnek

Örnek

Örnek
f : R → R f(x) = 3x + 2 ve gof : R → R gof(x) = 6x + 8
fonksiyonları veriliyor. Buna göre g fonksiyonunun kuralını bulalım.

f (x) = 5x + 6 ve (fog) = 2x + 7 olduğuna göre g (x)fonksiyonunun tersinin kuralını bulunuz.

Bir f fonksiyonun tersinin tersi kendisidir.

Örnek
f (2x + 3 ) = g(x – 1) olduğuna göre (g^-1of)(5) değerini bulunuz.

Fonksiyon Grafiklerini Yorumlama

Fonksiyonun grafiği üzerindeki her noktadan y eksenine çizilen paralel doğruların x ekseninde kestiği noktalar fonksiyonun tanım kümesini, x eksenine çizilen paralel doğruların y ekseninde kestiği noktalar ise fonksiyonun görüntü kümesini verir.

f : A → B, y = f(x) fonksiyonuna ait bütün noktaların koordinat sisteminde gösterilmesiyle oluşan noktalar kümesine f fonksiyonunun grafiği denir. Bu grafik çizilirken tanım kümesinin elemanları yatay eksende, değer kümesinin elemanları ise düşey eksende gösterilir.

Örnek

Örnek

Örnek

f : A → B, y = f(x) fonksiyonunda x in f altındaki görüntüsü y, y nin ters görüntüsü x tir

Örnek

Düşey Doğru Testi

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirlemek için tanım aralığının her noktasından y eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular, grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur. Diğer durumlarda bu bağıntı fonksiyon değildir. Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını tespit etmek için uygulanan bu teste düşey (dikey) doğru testi denir.

Örnek

f(x)=0 Denkleminin Kökleri

Grafiği verilen bir f fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar y =f(x) = 0 denkleminin kökleridir. Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin üzerinde kalıyorsa bu aralık f (x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Tanım kümesinin bir alt aralığının görüntüsü x ekseninin altında kalıyorsa bu aralık f (x)< 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Doğrusal Fonksiyonun Grafiği

f : R → R , y = f(x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafikleri çizilirken en az iki x değeri için f(x) değerleri bulunur. Bulunan (x,f(x)) noktaları, koordinat sisteminde işaretlenir. Bu noktaların birleştirilmesiyle oluşan doğru f fonksiyonunun grafiğidir.

Örnek

Örnek

Örnek
f : R → R , y = f(x) =4x + 12 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Örnek

Fonksiyonlar Konu Anlatımı yazımız burada sona erdi. 10. Sınıf Matematik dersi ile ilgili diğer tüm yazılara buradan ulaşabilirsiniz. Konuyla ilgili ek çalışma yapmak için  burayı  ziyaret edebilir, sitemizdeki diğer bütün derslerle ilgili içeriklere  buradan  ulaşabilirsiniz.  Yorumlar kısmına Fonksiyonlar Konu Anlatımı ile ilgili fikir ve görüşlerinizi yazmayı unutmayın.

---