Ders sarayının Matematik dersi 10. sınıf ve TYT konuları arasında olan Karmaşık Sayılar konusu için hazırladığı Karmaşık Sayılar Detaylı Konu Anlatımı yazısına hoş geldiniz. Karmaşık Sayılar Detaylı Konu Anlatımı yazısı ayrıntılı bir şekilde sırayla sanal sayı birimi, i’nin kuvvetleri, karmaşık sayıların tanımı, eşlenik, karmaşık sayılarda dört işlem ( toplama, çıkarma, çarpma, bölme ) konuları ve çıkmış soru örneklerini içeriyor.

Karmaşık Sayılar Konu Anlatımı yazımızı okumadan önce bu konuyla ilgili olan TYT – Matematik Temel Kavramlar Ders Notu  ve Üslü sayılar konu anlatımı yazılarımızı okumanızı tavsiye ederiz. Sitemizdeki diğer matematik konu anlatımı yazılarına buradan  ulaşabilirsiniz.

Karmaşık Sayılar
Detaylı Konu Anlatımı

Sayı kümelerinin en genişidir. Reel sayıların bir üst kümesidir. Yani karmaşık sayılar reel sayıları kapsar.

Bu konuya iki örnekle başlayalım.

Örnek 1 :   x²-9=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm :   x²=9 ise   x=3   ve    x=-3 tür. Ç.K={-3,3}

Örnek :  x²+9=0denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm :   x²=-9 olup reel sayılarda karesi negatif olan bir sayı yoktur, dolayısıyla reel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.

                Reel sayılar bize 1. örneği çözmemizde yardımcı olurken ikinci denklem için yetersiz kalmıştır. Bu da reel sayılardan daha geniş olan bir küme bulma ihtiyacı doğurmuştur. Bu küme de karmaşık sayılar kümesi olacaktır.

Sanal Sayı Birimi

Tanım : i²=-1 veya i=√-1 olan i sayısına sanal sayı birimi denir.

Sanal Birimin Kuvvetleri

O halde i nin 4 ten büyük kuvvetleri bulunurken kuvvet 4 e bölünür ve kalan ile işlem yapılır.Kuvvet negatifse ve mutlak değerce 4 ten büyükse sayı pozitif olarak düşünülüp 4 e bölünür ve kalan sayı 4 ten çıkarılarak işlem yapılır.Örnekleri inceleyelim.

Karmaşık Sayılar Tanımı

x ve y birer reel sayı ve i²=-1  olmak üzere  z=x+yi  şeklinde yazılan z sayısına karmaşık ( kompleks ) sayı denir ve ℂ şeklinde gösterilir.

z = x + yi  karmaşık sayısında ;

• x sayısına karmaşık sayının reel kısmı denir ve Re(z)=x şeklinde ifade edilir.
• y sayısına karmaşık sayının imajiner ( sanal ) kısmı denir ve Im(z)=y şeklinde ifade edilir.

Örnek: Aşağıdaki soruların reel ve sanal kısımlarını bulunuz.

• z = 3+5i    ise    Re(z) = ?        Im(z)=?
• z = -4i+8   ise    Re(z) = ?       Im(z) = ?
• z = -4   ise    Re(z) = ?       Im(z) = ?
• z = -7i   ise    Re(z) = ?       Im(z) = ?

Örnek :  i²=-1 olmak üzere

  x²+9=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

Örnek :  i²=-1 olmak üzere

   x²- 4x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Reel kısımları ve imajiner(sanal) kısımları kendiaralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir. Yani ;

x ,y ,a,b  reel sayı  , z = x+yi  ve w=a+bi olmak üzere z = w ise  x=a ve y = b dir.

Örnek :  z = (a-2) + 5i  ve  w = 6 – (b-4)i  ve z=w ise  a+b=?

Karmaşık Sayının Eşleniği

Verilen  bir karmaşık sayının sadece sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilen yeni karmaşık sayıya verilen karmaşık sayının eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği  ile gösterilirç

z = x + yi   ise    z̅= x – yi   dir.

Örnek : Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz.

• z = 3-5i ise     z̅= ?
• z = 2i-4 ise   z̅ = ?
• z = 7 ise z̅ = ?
• z = 4i ise   z̅  = ?

Not : Reel katsayılı ikinci dereceden ,   ax² + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri  ‘’p + r.i ’’ ise diğer kökü  ‘’p-r.i ’’ dir. ( köklerden biri karmaşık sayı ise diğer kökte onun eşleniğidir. )

Örnek : Reel katsayılı ikinci dereceden denklemin köklerinden biri 3+2i isebu ikinci dereceden denklemi bulunuz. 

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem 

Dört işlem yapılırken toplama çıkarma işlemi için Reel kısımla reel kısım, sanal kısımla sanal kısım arasında işlem yapılır. Çarpma ve bölme işlemi yapılırken bütün terimler çarpılır, i’nin karesine “-1” yazılır.

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

z = x+yi     ve     w= a + bi  olmak üzere
z + w = (x+a) + (y+b)i
z – w = (x-a) + (y-b)i

Örnek : z=2-3i ve w=5i+5 olmak üzere

1. z + w = ?
2. w – z = ?
3. 2z + 3w = ?
4. 3z – w = ?

Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi

z = x+yi     ve     w= a + bi  olmak üzere
z.w = (x+yi).(a+bi) = x.a + x.bi + y.ai +y.b.          (i²=-1)
                                   = x.a + x.bi + y.ai – y.b

Örnek : z=3+2i ve w=2-4i olmak üzere z.w =?

Not : z = a+bi olmak üzere  z̅= a-bi dir.
z. z̅  = (a+bi).(a-bi)=a²+b²   dir.

Örnek:

• (5+4i).(5-4i)=?
• (3+2i).(3-2i)=?
• (1-i).(1+i)=?

Not :

•  (1+i)²=2i
• (1-i)²=-2i

Örnek :  (1+i)²⁶= ?

Örnek :  (1-i)²⁹ = ?

Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi

z , w ∈ ℂ    ve w ≠ 0   olmak üzere z/w işlemine karmaşık sayılarda bölme işlemi denir.Bu işlemi yapabilmek için pay ve payda , paydanın eşleniği ile çarpılır.

Örnek :  z=3+2i ve w=2-4i olmak üzere  z/w  = ?

Örnek : z=2-5i ve w=3-i olmak üzere   z/w = ?

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

Çıkmış Soru:

---

Karmaşık Sayılar Detaylı Konu Anlatımı yazımız burada sona erdi. 10. Sınıf Matematik dersi ile ilgili diğer tüm yazılara buradan ulaşabilirsiniz. Konuyla ilgili ek çalışma yapmak için burayı ziyaret edebilir, sitemizdeki diğer bütün derslerle ilgili içeriklere buradan ulaşabilirsiniz. Yorumlar kısmına Karmaşık Sayılar Detaylı Konu Anlatımı yazısı ile ilgili fikir ve görüşlerinizi yazmayı unutmayın.