Matematik Mantık Detaylı Konu Anlatımı

Okuma süresi: 13 dakika

Ders Sarayının bu yazısında hem 9. sınıf hem de TYT sınavı konularından Mantık konusunu işliyoruz. Mantık Detaylı Konu Anlatımı yazısında, Mantık( Önerme ) konusunu, örnekler, ek açıklamalar ve tüm detaylarıyla ele aldık. Mantık kuralları, matematikte ve günlük yaşantıda problemlerin anlaşılmasında önemli bir yer tutar. Problemler, mantık ilke ve sembolleri kullanılarak formüle edilir. Çözümlemeler sonucu elde edilen sonuçlar yorumlanarak kesin hükümlere ulaşılır.Sembolik mantık, matematiksel zekânın altyapısını oluşturur. Altyapısı güçlü olan bireyler, matematiksel kavram ve problemleri çözmede üstünlük elde eder. Matematik ile ilgili diğer yazılarımıza buradan ulaşabilirsiniz.

Mantık Detaylı Konu Anlatımı yazımızı okumadan önce, Matematik dersindeki Temel Kavramlardan bahsettiğimiz yazımızı yayınlamıştık. O yazıya da Temel Kavramlar Konu Anlatımı dan ulaşabilirsiniz. Önce o yazıyı okuyup ardından, Mantık Detaylı Konu Anlatımı yazımızı okursanız size daha faydalı olacaktır.

MANTIK Detaylı Konu Anlatımı

# Önerme

Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Kesin olan cümleler doğru veya yanlış da olsa önermedir. Cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu bilmekten ziyade kesin hüküm bildirmesi önerme olması için yeterlidir. Soru cümleleri önerme olmaz. Önermeler genellikle p , q , r , s , t , … gibi harflerle gösterilir.

Örnek 1: Aşağıdaki ifadeleri hangilerinin önerme olduğunu bulunuz.

> p : ‘’ Bir yıl 12 aydır.’’

> q : ‘’ Denizli Ege bölgesindedir.’’

> r : ‘’ En büyük rakam 7 dir.’’

> s : ‘’ Suyunu içtin mi? ‘’

> t : ‘’ Eyvah, yolda kaldım. ‘’

> v : ‘’ Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur.’’

# Önermenin Doğruluk Değeri

Verilen bir önerme doğru ise değeri 1 veya D ile gösterilirken yanlış ise 0 veya Y ile gösterilir. Doğruluk değerlerinin gösterdiğimiz tablonun adı da doğruluk tablosudur.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

P

1

0

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	1	1
0	1	0
0	0	1
0	0	0

Örnek : Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. (Bunun gibi soruları doğru çözebilmek için Temel Kavramlar Konu Anlatımı yazısını iyi öğrenmeniz gerekir )

p : ‘’ 2 basamaklı en küçük doğal sayı 10 dur.’’

q : ‘’ En büyük 3 basamaklı negatif tam sayı -999 dur.’’

r : ‘’ Türkiye 7 bölgeden oluşur.’’

s : ‘’ 7 asal bir sayıdır. ‘’

Çözüm :

Not : n tane önermenin tane sonucu vardır.(Örneğin 2 tane önermenin 4, 3 tane önermenin 8 , 4 tane önermenin 16 tane sonucu vardır.)

Örnek : x – 3 tane önermenin birbirinden farklı 64 tane sonucu olduğuna göre x+2 tane önermenin kaç tane sonucu vardır?

Çözüm :

# İki Önermenin Denkliği

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p ve q önermelerinin denk olduğunu p  şeklinde gösteririz.

# Önermenin Değili (Olumsuzu)

Verilen bir p önermesinin değili p’ ile gösterilir.

p : ‘’En küçük asal sayı 2’dir.’’

p’ : ‘’En küçük asal sayı 2 değildir.’’

q : ‘’ 2+3 = 5’’

q’ : ‘’ 2+3 5’’

# Doğruluk tablosu ile bir önerme ve önermenin değilini gösterelim.

p	p’	(p’)’
1	0	1
0	1	0

Bir önermenin değilinin değili kendisine eşittir. (p’)’=p

# Bileşik Önermeler  

En az iki önermenin birbirine ‘’veya’’ , ‘’ve’’ , ‘’ya da’’ , ‘’ise’’ ,  ‘’ancak ve ancak’’ bağlaçları ile bağlanmasıyla oluşan önermelere bileşik önerme denir.

Ve (ᴧ) Bağlacı

Verilen önermelerin ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlış olan önermedir. Bunu size bir hikaye ile anlatalım. ‘’ Ahmet pazardan gelen annesini arayarak elma VE armut almasını istedi.)Eğer poşetlerde elma ve armut bulursa sıkıntı yok ama ikisinden biri yoksa veya ikisi de yoksa sıkıntı büyük.:) ) Annesi eve geldiğinde poşetleri arayan Ahmet aşağıdaki durumlarla karşılaşırsa nasıl tepkiler verir bakalım;

Durum 1 : Ahmet poşetlerde elma ve armutu buldu. Ahmet mutlu 🙂 sonuç = 1

               Durum 2 : Ahmet poşetlerde elma buldu ama armut yoktu. Ahmet mutsuz 🙁 sonuç = 0

               Durum 3 : Ahmet poşetlerde elma bulamadı ama armut buldu. Ahmet mutsuz 🙁 sonuç = 0

               Durum 4 : Ahmet poşetlerde ikisini de bulamadı. Ahmet yaslarda 🙁 sonuç = 0

Şimdi de doğruluk tablosu ile durumları gösterelim.

p	q	pᴧq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Bu tabloyu akılda tutmanın en güzel yolu; eğer ve bağlacı ile bağlanan önermenin içinde 0 var ise sonuç 0, 0 yok ise sonuç 1 dir.

Örnek : [ ( 0 ᴧ 1 ) ᴧ ( 1 ᴧ 1 ) ]’ ᴧ 1  önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm :

Veya (V) Bağlacı

Verilen önermelerin ikisi de yanlış iken yanlış , diğer durumlarda doğrudur. (Bu bağlacın hikayesini video dersimizde anlatacağım, bizi takip etmeye devam ediniz J .)

Şimdi doğruluk tablomuzu yapalım.

p	q	pVq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Bu tabloyu aklında tutmanın en güzel yolu ; eğer veya bağlacı ile bağlanan önermenin içinde 1 var ise sonuç 1, 1 yok ise sonuç 0 dır.
 

Örnek : [( 0 V 1 )’ V ( 1 ᴧ 0’)’]’  önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm :

* Veya ve Ve Bağlacının Özellikleri

1) Tek kuvvet özelliği

               p ᴧ p  p

               p v p  p

2)Değişme Özelliği

               p ᴧ q  q ᴧ p

               p v q  q v p

3)Birleşme özelliği

               ( p ᴧ q ) ᴧ r  p ᴧ ( q ᴧ r )

               ( p v q ) v r  p v ( q v r )

4)Dağılma özelliği

               ᴧ   nin   v   üzerine dağılma özelliği :  p ᴧ ( q v r )  ( p ᴧ q ) v ( p ᴧ r )

               v   nin   ᴧ   üzerine dağılma özelliği :  p v ( q ᴧ r )  ( p v q ) ᴧ ( p v r )

5)            p ᴧ 1  p               p v 1 1

               p ᴧ 0  0              p v 0  p

               p ᴧ p’  0             p v p’ 1

De Morgan Kuralları

p ve q iki önerme olmak üzere ;      1) ( p v q )’  p’ ᴧ q’

                                            2) ( p ᴧ q)’ p’ v q’

Örnek :  q v (p v q’ )     bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Örnek :  [(p v 0)’ ᴧ (q v 0)]’ (1ᴧ0)   bileşik önermesinin doğruluk değerinin bulunuz .

Çözüm:

Ya da ( ) Bağlacı

Bileşenlerden biri doğru diğeri yanlış iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.(Hikayesi videoda 🙂 ).

Şimdi de ya da bağlacının doğruluk tablosunu yapalım.

p	q	p q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Örnek : [ (0 0 ) V (1 ᴧ 0 )]’   önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Ya da Bağlacının Özellikleri

               1)   pq=qp(değişme özelliği)

               2)    (birleşme özelliği)

               3)

               4) 

Örnek : [ p v ( q  q’)] ᴧ [ p’ v (r ᴧ r’)]  önermesinin en sade halini bulunuz.

Çözüm :

Kümelerle Sembolik Mantık Arasındaki İlişki

# Sembol eşleştirmeleri

Sembolik Mantık	0	1	v	ᴧ	‘		p’
Kümeler		E	U		‘	=	A’

# İşlemlerle İlgili Eşleştirmeler

Sembolik Mantık	Kümeler
p ᴧ p’= 0	A ∩ A’ =
p v p’ =1	A U A’= E
p v p =p	A U A = A
p ᴧ p =p	A ∩ A = A
p v 1 =1	A U E = E
p v q =q v p	A U B = B U A
p ᴧ q =q ᴧ p	A ∩ B = B ∩ A

Çıkmış Soru : X , Y ve Z birer küme olmak üzere ‘’(X  Y ve X Z) ise Y  Z dir.’’  önermesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi, bu önermenin yanlış olduğunu gösteren bir örnektir.

	X	Y	Z
A)	{1}	{1,2}	{1,3}
B)	{1}	{1,2}	{2}
C)		{1}	{1}
D)		{1}	{1,2}
E)	{1}	{2}	{1,3}

> Koşullu Önermeler , Totoloji ve Çelişki

#Koşullu Önerme : 

‘’ise’’ bağlacı ile bağlanan önermelere koşullu önerme denir.  => sembolü ile gösterilir.  p => q önermesi p doğru q yanlış iken yanlış , diğer durumlarda doğrudur. (Akılda nasıl mı kalır? 100 kuralını hatırla,  1 => 0 ).Şimdi doğruluk tablosu yapalım.

p	q	p=>q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Örnek :  [ [ ( 1 => 0 ) =>1] =>0 ]’  bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm :

Çıkmış Soru :       p :

                              q :     

                                r :

önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur?

A)  p  ( r v q )       B)  ( p v q ) ᴧ r     C) r => p ᴧ q    D) p v ( r => q )    E) p => ( q ᴧ r )            

Çözüm :

Not : p => q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önerme ‘gerektirme’ adını alır.

Örnek : Aşağıda verilen önermelerin hangileri gerektirmedir?

1) 1=>0 ….

2) 0=>p  ….

3) p =>1  ….

# Koşullu Önermenin Karşıtı , Tersi ve Karşıt Tersi

p => q önermesinin karşıtı   q => p       ( karşıtı dediğine göre karşıya gönder, yani yer değiştir. J )

p => q önermesinin tersi      p’=> q’      (Kocaman yazılarla TERSİ demişler,sadece tersini alalım J )

p => q önermesinin karşıt tersi   q’ => p’   (Hem yer değiştir hem de terslerini al diyorrr J )

Örnek : ‘’Ayça matematik öğretmeni ise Ayça çok zekidir.’’  Koşullu önermesinin karşıtını ,tersini ve karşıt tersini bulunuz.

Çözüm :

Çıkmış Soru : p , q ve r önermelerinin değilleri sırasıyla p’ , q’ ve r’ ile gösterildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi

                        p v q => q ᴧ r  önermesine denktir?

A) p’ ᴧ q’ => q’ v r’    B) p’ ᴧ  q’ => q’ ᴧ r’    C) p’ v q’ => q’ ᴧ r’   D) q’ ᴧ r’ => p’ v q’    E) q’ v r’ => p’ ᴧ q’   

Koşullu Önermenin Özellikleri

1) p => q= p’ v q                                                   4) p => 1 =1 

2) 0 => 1 =1                                                           5) p => p= 1

3) p => p’ =p’                                                        6) ( p => q )’= ( p’ v q )’  p ᴧ q’

Çıkmış Soru : p , q ve r önermeleri için  ( p => q ) => r   önermesinin yanlış olduğu biliniyor. Buna göre ;

I) p => q

II) q => r

III) r => p

önermelerinden hangileri her zaman doğrudur?

A) Yalnız I      B) Yalnız II   C) Yalnız III   D) I ve III   E) II ve III

Çıkmış Soru :    p : a = 0

                           q : a + b = 0

                           r : a . b = 0     önermeleri veriliyor.

Buna göre; aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi doğrudur?

A) r => p     B) p => r     C) q => p   D) p => q   E) q => r

Çözüm :

Çıkmış Soru : a , b ve c sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere ,

                       p : a + b = 0

                       q : a + c < 0

                       r : c < 0     önermeleri veriliyor. (p ᴧ q ) => r   önermesi yanlış olduğuna göre ; a , b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir ?

A) -,+,+   B) -,+,-    C) -,-,+    D) +,-,+     E) +,-,-

Çözüm :

#İki Yönlü Koşullu Önerme

p ile q önermeleri için ( p => q ) ᴧ ( q =>p ) bileşik önermesine ‘’iki yönlü koşullu önerme ‘’ denir. ‘’p q ‘’ biçiminde yazılır ve ‘’ p ancak ve ancak (gerek ve yeter şart) q ‘’ diye okunur.

p q iki yönlü koşullu önermesi p ile q nun doğruluk değerleri aynı iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır. Şimdi de doğruluk tablosu ile gösterelim.

p	q	pq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Not : Çift gerektirme : pq nun sonucu  1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.

Örnek :  p : 2a = 4

               q : 8a – 16 = 0

önermeleri veriliyor. p q önermesini yazarak çift gerektirme olup olmadığını bulunuz.

Çözüm :  

İki Yönlü Koşullu Önermenin Özellikleri

1) p p= 1                                                                    4) p p’ =0

2) p 0= p’                                                                   5) p 1= p

3) p q= p’ q’                                                         6) p q= ( p => q ) ᴧ ( q => p )

Örnek : [(01)v ( 1 => 0 )]’1  önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm :

Örnek : (q q’ ) => ( q => q’)   önermesinin dengini bulunuz?

Çözüm :

Sembolleştirme

Sözel olarak ifade edilen cümleleri önerme biçiminde yazma işlemidir.

Örnek : 1) p : ‘’ y asal sayıdır. ‘’

                  q : ‘’ y tek sayıdır. ‘’

                   r : ‘’ y pozitif sayıdır. ‘’

Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdaki mantık diliyle verilen ifadeleri sözel olarak yazınız.

 # p v r

 # p => q  

 # (r ᴧ q) => p

Örnek : Sözel olarak verilen ifadeleri mantık diline çeviriniz.

# Ayşe 18 yaşından küçük ise öğrencidir.

# Bir doğal sayı asal ve çift ise 2 dir.

# Totoloji ve Çelişki

Totoloji : Bir bileşik önermenin sonucu daima doğru ise totolojidir.

Çelişki : Bir bileşik önermenin sonucu daima yanlış ise çelişkidir.

Örnek : (pᴧq) => p   önermesini doğruluk tablosu ile inceleyiniz

Çözüm:

Örnek : p ᴧ p’  önermesini doğruluk tablosu ile inceleyiniz.

Çözüm

#Niceleyiciler

Her ( ) ve Bazı ( ) Niceleyicileri

# Her sözcüğü tümü, tamamı,bütünü anlamına gelir. Evrensel niceleyicidir.

# Bazı sözcüğü en az biri anlamındadır.

Örnek : ‘’Her x doğal sayısı için   pozitiftir.’’  Önermesini sembolik mantık diliyle yazınız.

Çözüm:

Örnek : ‘’Bazı x doğal sayıları için 2x-4=0 dır’’ Önermesini sembolik mantık diliyle yazınız.

Çözüm :

Her ( ) ve Bazı ( ) Niceleyicilerinin Değili

A, p(x) önermesinin değili  x  A , p’(x) dir.

 x  A , p(x) önermesinin değili x A , p’(x) dir.

Örnek : Aşağıda verilen önermelerin değillerini bulunuz.

# x N, x-5 > 8

#

# x  Z , 3x-2 7

 #

Açık Önermeler

Doğru ya da yanlışlığı değişkene bağlı olan önermelere açık önerme denir. Bir açık önermenin değişkeni x ise p(x) ile gösterilir. Bir açık önermede birden fazla değişkene de bağlı olabilir. Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesi doğruluk kümesidir.

Örnek :  p(x) : ‘’ 5x-4 <11 , x bir pozitif tamsayıdır.

Çözüm :

Tanım : Bir terimin tanımı bu terimin özelliklerini belirtir. Tanımın içerisinde terime ait gerekli özellikler olmalıdır. Örneğin ; ‘’Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere tanım denir. ‘’  ‘’ İçinde değişken bulunan ve değişkene verilen bazı değerler için sağlanan eşitliktir.’’ 

Aksiyom : İspata gerek duyulmaksızın doruluğu kabul edilen önermelerdir. Örneğin ; ‘’ Farklı iki noktadan yalnızca bir doğru geçer.’’

Teorem : Doğruluğunun ispata ihtiyacı olan önermelere teorem denir. Örneğin; ‘’ Bir üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.’’

Bir teoremin verilen kısmına hipotez(varsayım), ispatlanacak olan kısmına hüküm (yargı) denir.

p önermesi doğru iken p => q önermesi teoremdir. ( p ye hipotez, q ya hüküm denir.)

İSPAT YÖNTEMLERİ

Doğrudan ispat- olmayana ergi ile ispat-deneme yöntemi ile ispat-Aksine örnek verme yöntemi ile ispat-tümevarım ile ispat-tümdengelim ile ispat.

---

TYT sınavının temel konularından olan Mantık konusunu Mantık – Ayrıntılı Konu Anlatımı yazısında böylece işlemiş olduk. Mantık – Detaylı Konu Anlatımı yazısında, konuyu daha iyi kavrayabilmeniz için bol örnek ve alıştırmalara yer verdik. Umarız, yazımız faydalı olmuştur. İyi çalışmalar. Mantık konu anlatımı ile ilgili daha fazla bilgiye buradan ulaşabilirsiniz. Matematik dersinin diğer konu anlatımlarına buradan ulaşabilirsiniz.