TYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı

Ders sarayının Matematik dersi 10. sınıf ve TYT AYT konuları arasında olan TYT AYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı yazısına hoş geldiniz. Ayrıntılı bir şekilde sırayla kombinasyon ve kombinasyonun geometrik yorumu konularını ve örneklerini içeriyor.

TYT AYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı yazımızı okumadan önce bu konuyla ilgili olan Temel Kavramlar , Üslü sayılar konu anlatımı ve Permütasyon Detaylı Konu Anlatımı yazılarımızı okumanızı tavsiye ederiz. Sitemizdeki diğer matematik konu anlatımı yazılarına buradan ulaşabilirsiniz.

Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı

Permütasyon ile mevcut seçeneklerin farklı sıralanmasıyla oluşabilecek tüm dizilimleri listelemeyi öğrenmiştik. Ancak, bazen seçeneklerin sıralanması değil de mevcut seçenekler arasında belli sayıda kaç farklı seçimin yapılabileceğinin belirlenmesi gerekebilir. Kısaca; bir dizilimde hangi seçeneklerin bulunduğunun önemli olduğu ancak seçeneklerin kendi aralarındaki dizilim sıralamasının önemsiz olduğu durumlar vardır. Bu durumda bir dizilimdeki farklı seçeneklerin sırası bir öncelik veya derecelendirme belirtmemektedir.
Örneğin; Ece, Sevgi, Betül ve Merve bir okulun AB proje ekibinde yer alsın. Bu ekipten 2 kişinin kura ile seçilip yurt dışına gönderilmesi planlanıyor. Oluşabilecek tüm kura sonuçlarını aşağıdaki tabloda gösterelim.

Yukarıdaki tablodan da görüldüğü gibi kura sonucu 12 farklı şekilde gerçekleşebilir. Fakat kuradan 1. çıkmak ile 2. çıkmak arasında bir fark olmadığı için yurt dışına gönderilme bakımından 6 farklı durum gerçekleşir.

Kombinasyon Tanımı

Kombinasyon gruplama(seçme) demektir. n ve r negatif olmayan tamsayılar ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere; n tane farklı eleman arasından sıraya bakılmaksızın r tane eleman içeren grupları seçme sayısına n’nin r’li kombinasyonu (seçimi) denir. Bu sayı

Kombinasyon Özellikleri

C(n,n)=1 C(n,1)=n C(n,n-1)=n C(n,0)=1

Örnek 1
C(7,3)+C(10,5) değerini hesaplayalım.

Örnek 2
C(5,5)+C(7,1)+C(4,3)+C(8,0) derğerini hesaplayalım.(özelliklerden faydalanabilirsiniz.)

Örnek 3
  C(10,6)=C(10,n) olduğuna göre, n nin alacağı değerler çarpımı kaçtır?

Örnek 4
Bir çember üzerindeki 8 noktayı köşe kabul eden kaç farklı üçgen çizilir hesaplayalım. (not üçgen üzerinden seçilen herhangi 3 nokta doğrusal değildir.)

Örnek 5
Bir lisenin voleybol takımında 10 kişi vardır. Voleybol maçında sahaya çıkacak 6 kişinin kaç farklı şekilde belirlenebileceğini hesaplayalım.

Örnek 6
Bir grup akademisyen arasından seçilecek 8 kişilik komisyon sayısı ile 5 kişilik komisyon sayısı eşit ise grubun kaç kişi olduğunu bulalım.

Örnek 7
Dört takımın katıldığı bir futbol turnuvasında takımlar her bir rakiple ikişer maç yapıyor. Turnuvada yapılan maçların galibiyet, mağlubiyet ve berabere kalma durumlarının kaç farklı şekilde sonuçlanabileceğini bulalım.

Örnek 8
C(n, n) + P(n, n) = C(6, 3) + P(5, 1) eşitliğini sağlayan n sayısını bulalım.

Örnek 9
Mehmet 13 soruluk bir sınavda 10 soru cevaplayacaktır. İlk 4 soruyu cevaplamak zorunda olan Mehmet, cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir?

Örnek 10
İçlerinde Can ve Yaşar’ın da bulunduğu 10 kişilik bir ekipten
a) Can ve Yaşar’ın bulunduğu
b) Can veya Yaşar’ın bulunduğu
6 kişilik bir basketbol takımının kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini bulalım.

Örnek 11
Bir toplantıya katılan herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplantıda 28 tokalaşma meydana geldiğine göre katılımcı sayısını bulalım.

Örnek 12
A = {i, s, t, a, n, b, u, l} kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde;
a) s ve t harflerinin bulunduğunu,
b) u harfinin bulunmadığını hesaplayalım.

Örnek 13
C(4, 0) + C(4, 1) + C(4, 2) + C(4, 3) + C(4, 4) = 2ⁿ eşitliğini sağlayan n değerini bulalım.

Kombinasyon ile Alt Küme İlişkisi

Kombinasyon yardımıyla bir kümenin herhangi elemanlı alt küme sayısını bulabiliriz. Örneğin 10 elemanlı bir kümenin 6 elemanlı alt küme sayısı C(10,6) eşittir. Bu kuralı 0 dan başlatıp n kadar yapıp toplayınca aşağıdaki kural ortaya çıkar.

n, negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere;
C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ
olur.

Örnek 14
Efe, sadece kazanmak ya da kaybetmenin olduğu (berabere kalmanın olmadığı) n farklı bilgisayar oyununun hepsini oynuyor.
Efe için oyunların kaç farklı şekilde sonuçlanabileceğini n ye bağlı olarak bulalım

Örnek 15
7 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

Örnek 16
A={a,b,c,d,e} kümesinin elamanları ile yazılabilen 3 elemanlı alt kümeler için;

1. Kaç tanesinde a bulunur?
2. Kaç tanesinde a ve b bulunur?
3. Kaç tanesinde c bulunmaz?
4. Kaç tanesinde c bulunur d bulunmaz?
5. Kaç tanesinde b veya d bulunur?

Örnek 17
Bir öğrenci girmiş olduğu 12 soruluk bir sınavda 8 soru cevaplayacaktır. Öğrenci ilk 5 sorudan en az 3 tanesini seçmek zorunda olduğuna göre 8 soruyu kaç farklı şekilde yapar?

Örnek 18

Enstrüman çalmayı öğrenmek için planlı çalışmak ve sabırlı olmak çok önemlidir. Bir halk eğitimi merkezi bu amaçla bağlama, gitar, kemençe, tulum, piyano ve ney enstrümanlarını öğrenmek isteyenler için bir kurs ilanı vermiştir. Kemençe ve tulum kursları aynı saatte yapıldığına göre 3 tane kursa katılmak isteyen bir kişinin kaç farklı seçim yapabileceğini bulunuz.

Örnek 19
“KARADENİZ” kelimesinin harflerinden oluşan bir kümeden sessiz harflerden 3 ü ve sesli harflerden 2 si kullanılarak 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabileceğini bulunuz.

Örnek 20
On basamaklı 1 122 233 333 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek yazılabilen on basamaklı sayıların kaç tanesinde herhangi iki tane 2 nin yan yana olmadığını bulunuz.

Örnek 21
Bir okulun 10/A sınıfı öğrencileri ihtiyaç sahiplerine dağıtılması için gıda kolisi hazırlamışlardır. Bu kolilerin dağıtımı için gönüllü olan 5 öğrenciden 3 ü A mahallesinde, diğer 2 si B mahallesinde belirlenen kişilere gıda kolilerini dağıtacaklardır. Bu 5 öğrenci arasından üçer ve ikişer kişilik kaç farklı grup oluşturulabileceğini bulunuz.

Örnek 22
Bir sporcu kafilesinde bulunan Ayhan, Berna, Cemil ve Didem isimli öğrencilerin
a) İkişer kişilik Ay ve Yıldız isimli iki takıma kaç farklı şekilde seçilebileceklerini bulunuz.
b) Bu kişilerin ikişer kişilik 2 takıma kaç farklı şekilde ayrılabileceklerini bulunuz.

Örnek 23
a> b≥c koşulunu sağlayan üç basamaklı kaç farklı abc sayısı yazılabileceğini bulunuz.

Kombinasyon un Geometrik Yorumu

Bu kısımda öncelikle noktalar ile oluşturulan geometrik şekilleri, sonrasında da doğrularla oluşturulan geometrik şekilleri inceleyeceğiz.

• Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbirinden farklı C(n,2) tane doğru çizilir.
• Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbirinden farklı C(n,3) tane üçgen çizilir.
• Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan n farklı nokta ile birbirinden farklı C(n,4)   tane dörtgen çizilir.
• N tane doğru en fazla C(n,2) tane noktada kesişir.
• Birbirine paralel olan n doğru ile bu doğruları kesen ve birbirine paralel m doğrunun oluşturabileceği dörtgen sayısı C(n,2)C(m,2)  dir.
• n tane m gen en fazla 2.m.C(n,2)  noktada kesişir.
• n tane çember en fazla 2.C(n,2) noktada kesişir.
• n tane elips en fazla 4.C(n,2) noktada kesişir.

Örnek 25
Düzlemde bulunan farklı 11 doğrunun en çok kaç noktada kesişebileceğini bulunuz.

Örnek 26
Bir çember üzerinde birbirinden farklı 9 nokta işaretleniyor. Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebileceğini bulunuz.

Örnek 27
5 ü birbiriyle paralel olan, diğer 4 ü ise aynı noktadan geçen 12 doğrunun en çok kaç kesişme noktası olduğunu bulunuz.

Örnek 28

Şekildeki üçgen üzerinde 12 nokta verilmiştir. Buna göre bu noktalardan herhangi üçünü köşe kabul eden kaç farklı üçgen çizilebileceğini bulunuz.

Örnek 29

Örnek 31

Örnek 32

Örnek 33

Örnek 34

Örnek 34
Doğruasal olarak verilen 4 nokta ile kaç tane doğru, kaç tane üçgen, kaç tane dörtgen çizilir?

Örnek 35
Herhangi üçü doğrusal olmayan A,B,C,D,E,F noktaları ile

1. Kaç tane doğru çizilir?
2. Kaç tane üçgen çizilir?
3. Kaç tane dörtgen çizilir?
4. Bir köşesi B olan kaç tane üçgen çizilir?

Örnek 36
  .A. B. C. D. E

               .F. G. H 

Birbirine paralel olan şekildeki iki doğrudan 1.doğrunun üzerinde 5 nokta 2.doğrunun üzerinde 3 nokta vardır. Buna göre bu noktalar kullanılarak;

1. Kaç farklı doğru oluşturulabilir?
2. Kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
3. Kaç farklı dörtgen oluşturulabilir?
4. Tabanı 1.doğru üzerinde olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
5. Bri köşesi D olan kaç farklı üçgen oluşturulur?

Örnek 37
Birbirine paralel 4 doğru ile bu doğruları kesen ve birbirine paralel olan 5 doğru veriliyor. Buna göre;

Şekilde kaç tane paralel kenar vardır?

Örnek 38
Aynı düzlemde bulunan ve herhangi ikisi çakışık olmayan

• 5 doğru en çok kaç noktada kesişir?
• 7 çember en çok kaç noktada kesişir?
• 4 üçgen en çok kaç noktada kesişir?
• 6 dörtgen en çok kaç noktada kesişir?
• 5 tane elips en çok kaç noktada kesişir?

TYT AYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı yazımız burada sona erdi. 10. Sınıf Matematik dersi ile ilgili diğer tüm yazılara buradan ulaşabilirsiniz. Konuyla ilgili ek çalışma yapmak için burayı ziyaret edebilir, sitemizdeki diğer bütün derslerle ilgili içeriklere buradan ulaşabilirsiniz. Yorumlar kısmına TYT AYT Matematik Kombinasyon Detaylı Konu Anlatımı ile ilgili fikir ve görüşlerinizi yazmayı unutmayın.